A matemática do string art

Retas que desenham curvas

Coloque pregos em duas fileiras que formam um canto. Una o prego mais afastado do canto em uma fileira com o mais próximo na outra, e repita avançando um prego em cada fileira. Cada linha é reta, mas a borda que todas formam juntas é uma curva. Na matemática essa curva se chama envoltória: ninguém a desenha, ela aparece onde as retas vão se tocando. Mary Everest Boole a usava no século XIX para ensinar geometria com linha e cartão, e ela é a base de todo o string art.

O salto

Em um círculo de pregos, tecer «contando» é ir sempre ao prego que está à mesma quantidade de lugares: de 5 em 5, de 9 em 9. Esse número é o salto. Com um salto fixo a linha dá voltas até voltar ao prego de partida, e o que ela deixa é uma estrela.

Por que os números primos

A linha passar ou não por todos os pregos depende de a quantidade de pregos e o salto terem um divisor em comum. Com 24 pregos e salto 6, os dois se dividem por 6: a linha toca 24 ÷ 6 = 4 pregos, desenha um quadrado e acaba. Com 24 pregos e salto 5 eles não têm nenhum divisor em comum, e a linha passa pelos 24.

A regra é simples: a linha toca tantos pregos quanto a quantidade de pregos dividida pelo máximo divisor comum entre os pregos e o salto. Um número primo não tem divisores em comum com nenhum salto, e por isso com 23 pregos todos os saltos funcionam. Por isso o primeiro design do curso básico é o Círculo de número primo.

O círculo do centro

As linhas de uma camada não chegam ao centro: elas o contornam e deixam um círculo vazio. Quanto mais curto o salto, maior esse círculo. Dá para calcular antes de tecer:

raio do círculo interno = raio do círculo de pregos × cosseno de (180° × salto ÷ pregos)

Com 36 pregos em um círculo de 27 cm de raio:

É assim que se monta uma mandala em camadas: cada cor, com um salto mais curto, fica como um anel por fora da anterior. É o que acontece no Disco solar.

A que distância fica cada prego

Para distribuir os pregos em um círculo há duas medidas. O ângulo entre um prego e o seguinte é 360° dividido pela quantidade de pregos. A distância em linha reta, que é a que se marca com o compasso, é 2 × raio × seno de (180° ÷ pregos). Com 23 pregos em um círculo de 12 cm de raio dá 15,65° e 3,27 cm. A calculadora de pregos faz a conta para qualquer medida.

Quanta linha leva uma camada

O comprimento de uma linha entre dois pregos é 2 × raio × seno de (180° × salto ÷ pregos). Tecendo contando, uma camada completa tem tantas linhas quanto pregos. Com 23 pregos, 12 cm de raio e salto 10, cada linha mede 23,5 cm e a camada inteira 5,4 m. Vale somar 10 % para os nós e as voltas em cada prego. O gerador faz essa conta para cada cor.

A cardioide e as tabuadas

Numere os pregos de um círculo e una cada um com o que tem o dobro do seu número: o 1 com o 2, o 2 com o 4, o 3 com o 6. Quando passar do último, continue contando do início. Aparece uma curva em forma de coração: a cardioide. Se em vez do dobro você usar o triplo, saem dois lóbulos; com o quádruplo, três. A Flor de Vênus é feita de cardioides.

Teste sem pregar nada

Na demo do gerador de string art você pode abrir o Círculo de número primo, mudar a quantidade de pregos e o salto de cada camada e ver a figura na hora. Se preferir fazer com as mãos, os moldes grátis trazem dez círculos prontos para imprimir, e em ideias de string art estão todos os designs em ordem de dificuldade.